Rozkład dwumianowy jest jednym z elementarnych rozkładów prawdopodobieństwa dyskretnych zmiennych losowych stosowanych w teorii prawdopodobieństwa i statystyce. Otrzymuje nazwę, ponieważ ma współczynnik dwumianowy, który bierze udział w każdym obliczeniu prawdopodobieństwa. Waży liczbę możliwych kombinacji dla każdej konfiguracji.

Rozważ eksperyment statystyczny, w którym każde zdarzenie ma dwie możliwości (sukces lub porażka) i prawdopodobieństwo sukcesu p. Ponadto każde zdarzenie jest niezależne od siebie. Jedno wydarzenie o takim charakterze znane jest jako proces Bernoulliego. Rozkłady dwumianowe stosuje się do kolejnych sekwencji prób Bernoulliego. Przyjrzyjmy się teraz metodzie znajdowania prawdopodobieństwa dwumianowego.

Jak znaleźć prawdopodobieństwo dwumianowe

Jeżeli X jest liczbą sukcesów z n (skończonej ilości) niezależnych prób Bernoulliego, z prawdopodobieństwem powodzenia p, to prawdopodobieństwo X sukcesów w eksperymencie dane jest wzorem,

C _x nazywa się współczynnikiem dwumianowym.

Mówi się, że X ma rozkład dwumianowy z parametrami p i n, często oznaczanymi przez notację Bin(n, p).

Średnia i wariancja rozkładu dwumianowego są podane w postaci parametrów n i p.

Kształt krzywej rozkładu dwumianowego zależy również od parametrów n i p. Gdy n jest małe, rozkład jest w przybliżeniu symetryczny dla wartości p 0,5 zakresu i silnie skośny, gdy p jest w zakresie 0 lub 1. Gdy n jest duże, rozkład staje się bardziej wygładzony i symetryczny z zauważalnym pochyleniem, gdy p znajduje się w skrajnym zakresie 0 lub 1. Na poniższym diagramie oś x reprezentuje liczbę prób, a oś y podaje prawdopodobieństwo.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo dwumianowe – Przykłady

1. Jeśli tendencyjna moneta zostanie rzucona 5 razy z rzędu, a szansa na sukces wynosi 0,3, znajdź prawdopodobieństwa w następujących przypadkach.

a) P(X=5) b) P(X) ≤ 4 c) P(X) < 4

d) Średnia rozkładu

e) Wariancja rozkładu

Ze szczegółów eksperymentu możemy wywnioskować, że rozkłady prawdopodobieństw mają charakter dwumianowy z 5 kolejnymi i niezależnymi próbami z prawdopodobieństwem powodzenia 0,3. Dlatego n=5 i p=0,3.

a) P(X=5) = prawdopodobieństwo uzyskania sukcesów (orzeł) dla wszystkich pięciu prób

P(X=5) = ⁵C₅ (0.3)⁵ (1 – 0.3)^{5 – 5} = 1 × (0.3)⁵ × (1) = 0.00243

b) P(X) ≤ 4 = prawdopodobieństwo uzyskania czterech lub mniej sukcesów podczas eksperymentu

P(X) ≤ 4 = 1-P(X=5) = 1-0,00243 = 0,99757

c) P(X) < 4 = prawdopodobieństwo uzyskania mniej niż czterech sukcesów

P(X) < 4 = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1- [P(X=4) + P(X=5)]

Aby obliczyć dwumianowe prawdopodobieństwo uzyskania tylko czterech sukcesów (P(X)=4) mamy,

P(X=4) = ⁵C₄ (0.3)⁴ (1 – 0.3)^5-4 = 5×0.0081×(0.7) = 0.00563

P(X) < 4 = 1 – 0,00563 – 0,00243 = 0,99194

d) Średnia = np = 5 (0,3) = 1,5

e) Wariancja = np(1 – p) = 5(0,3)(1-0,3) = 1,05